考虑对于一个点 $x$ 如何求解 $F(x)$，考虑一个染色结构是怎样的，每次选择一或两个蓝点，满足与红点与其相连将其染成红色，那么点逐渐被染成红色的过程将形如一个搜索树的过程，具体的，对于每一个染色的蓝点，将之前与其相连的任意一个红点设置为其在搜索树上的父亲，那么就可以得到一棵搜索树。不难发现，当搜索树确定时，答案仅与搜索树的形态有关，因为每一个点可以被染成红色的限制仅为父亲被染成红色，因此 $F(x)$ 的答案就是所有以 $x$ 为根的搜索树的答案的最小值，而我们也仅需考虑一棵树的答案是多少。

考虑将原过程倒过来，每次选择一或两个红点将其染蓝，这个过程相当于对于一棵树，如果仅将所有红色的节点视为还剩下的节点，那么这个过程相当于，每一次选择一到两个叶子，将其删除，求最小的删除次数。一个自然的想法是每次删除深度最大的两个叶子，而事实上，它确实是正确的，证明如下：

对于每一个深度 $d$，令 $a_d$ 表示深度为 $d$ 的点的个数，令 $\text{maxd}$ 为最大的满足 $a_u\geq 1$ 的数 $u$，则一个下界是 $\max_{i=0}^{\text{maxd}}(i+\lceil\frac{\sum_{j=i+1}^{\text{maxd}}a_j}{2}\rceil)$，由于每次深度至多只能加 $1$，而剩下的那些节点每次至多减少 $2$。而对于这个过程，相当于每次找到最大的 $p$ 使得 $a_p>1$，将 $a_{\text{maxd}},a_p$ 减少 $1$，这个过程恰好会使得这个下界减少 $1$，因此这个构造方案总能够使得我们取到下界。而不难发现对于这个下界，其实 $\text{bfs}$ 树将会达到最小值，因此在最优的方案中，我们得到的树一定是 $\text{bfs}$ 树，因此不难得到一个 $O(n^2)$ 的做法：枚举每一个点 $x$，求出 $\text{bfs}$ 树，然后求出 $F(x)$ 对答案取 $\text{max}$。

对于树的情况，可以注意到对于上述匹配算法，我们取到的 $a_{\text{maxd}}$ 总是直径端点，因此可以考虑换一种匹配方式，从直径端点出发，每次让外侧的点与直径上的点进行匹配的操作，因此可以在直径的链上进行这样的 $\text{dp}$，从而比较好的做到 $O(n)$ 的复杂度。对于基环树的情况，可以钦定环上断的边是那一条转化为树的情况进行计算，可以通过在环上预处理 $\text{size}$ 的前后缀和比较轻松的做到这一点。

对于一般图的情况，由于每个点 $\text{bfs}$ 树的形态的变化会非常复杂，我们是不可以预处理每个点的 $\text{bfs}$ 树的形态的，但对于树的情况可以提供一个启发，实际上我们只需要关心直径端点的那条分支，这样只需要跑一个点的 $\text{bfs}$ 树即可。

此时的直径端点该如何设计呢，直接求图的直径显然复杂度太高，但注意到对于一个点双，实际上我们总是可以两两匹配将其消完，和完全图几乎相同，因此我们实际上可以将每一个点双补成一个完全图，这样就非常好求直径了。

在转移时可以建立圆方树，对于一个方点周围的圆点，我们只需要关系在直径端点一侧的那个点在这个点双上的最短路树，这个可以在图上 $\text{bfs}$ 解决。然后 $\text{dp}$ 即可做到 $O(n)$。