设 $g_{x,y}$ 表示 $\sum_{i,j,x \subseteq (i \cap j),(i \cup j) \subseteq y} F_i \times F_j$。

设 $G_{x,y}$ 表示 $\sum_{i,j,x = (i \cap j),(i \cup j) = y} F_i \times F_j$。

有 $g_{x,y} = \sum_{x \subseteq X,Y \subseteq y} G_{X,Y}$。

子集反演得到 $G_{X,Y} = \sum_{X \subseteq x,y \subseteq Y} g_{x,y} \times (-1)^{|x-X|+|Y-y|}$。

注意到，答案是 $\sum_{S=0}^{2^n-1} \sum_{T \subseteq S} f_S \times f_T \times G_{T,S}$。

因为 $g_{x,y}$ 是可以好求的，因为其限制等价于 $x \subseteq i \subseteq y,x \subseteq j \subseteq y$，因此我们可以先 $O(3^n \times n)$ 计算出所有的 $g_{x,y}$（对每个子集做 SOS dp），然后考察所有 $g_{x,y}$ 对答案的贡献。

注意到 $g_{x,y}$ 对答案的贡献是 $\sum_{X \subseteq x,y \subseteq Y} (-1)^{|x-X|+|Y-y|} \times f_X \times f_Y$。

注意到这个式子关于 $x,X$ 与 $y,Y$ 两维实际上是独立的，也就是其等于 $(\sum_{x \subseteq X} (-1)^{|x-X|} f_X) \times (\sum_{Y \subseteq y} (-1)^{|Y-y|} f_Y)$，用 SOS dp 预处理一下即可。

至此我们可以在 $O(3^n \times n)$ 的时间复杂度内解决这个问题。至于空间问题，考虑不去存储所有 $g_{x,y}$ 的值，而是枚举 $y$ 对于所有 $y$ 的子集 $x$ 计算出 $g_{x,y}$ 的值并将其的贡献计入答案即可，空间复杂度 $O(2^n)$。